SURF/Linear algebra 2011.09.25 21:29
2계편도함수에 대하여 좀 더 살펴보겠다. 


표현되는 다변수 함수가 있다고 하자. 이 함수의 편도함수는 

로 표현된다. 이를 다시 한번 더 미분하면,

로 표현된다. 즉, 파이를 xk로 미분한 것을 다시 xj로 한번 더 미분한다는 말이다. 물론 파이는 D라는 영역에서 두번 미분 가능하여야 한다. 앞 계시물에서 설명한 편도함수 수식을 좀 더 일반화 한 것이다.  
여기서 j와 k가 같지 않다면, 이 식을 mixed partial derivatives (혼합편도함수) 라고 한다.

위의 식을 도함수 표현으로 나타내면 다음과 같다.
어떤 f가 x와 y의 변수로 나타난다면, f의 second order partial derivatives는 다음과 같은 도함수 식으로 나타낼 수 있겠다. 


자~! 이제 좀 중요한 이야기를 하자...
편도함수에서 중요한 성질이 하나 있는데, 이름하여 Equality of Mixed Partial Derivatives이다. 한국말로 "혼합편도함수의 상등" 이라고 하는 것 같다. 이것의 theorem이 무엇인고 하니, 아래와 같다.
-> 함수 파이가 D에서 연속,미분 가능하면 다음 식이 성립한다.


왜이럴까? 증명해보자...
일단 위 식에서 n이 2일경우만 생각해보자. 즉 2계편도함수에서 말이다. 왜냐? 차수가 높으면 복잡해지니까..... 그리고, 보기 편하게 x1은 x로 놓고 x2는 y로 바꾸자. 이 때, "unmixed"일 경우(혼합이 아닐경우)에는 당연히 증명할 것도 없이 아래 식이 성립한다.

그러니까, unmixed는 과감히 무시해 주고, mixed를 까발쎠보자.  

이라고 하면,

로 쓸 수 있다. 좀 더 식을 간단하게 표현하기 위하여 g(x)라는 함수를

라고 정의하면, S는 아래와 같이 간단하게 바뀐다.


여기에 평균값 정리를 이용하면, x0와 x0+델타x 사이에는 크사이가 존재한다.(크사이는 아래 평균값 정리 그림에서 c점에 해당한다.) 이를 식으로 표현하면 

이 된다.



mean value theorem (평균값 정리)
If:
    f is continuous on [a, b] (no gaps, holes or jumps)
    f is differentiable on (a, b) (no sharp corners)
 then:
    there is a number c in (a, b) where the tangent to f at (c, f(c)) is
                   parallel to the secant line through (a, f(a)) and (b, f(b))
    or, there is a number c in (a, b) where f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)
    or, there is a number c in (a, b) where f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)
    or, there is a number c in (a, b) where f(b) = f'(c)(b - a) + f(a)
 -> 쉽게 말하면, 아래 그림에서 a에서 b간의 기울기 {f(b)-f(a)}/(b-a)}와 같은 기울기 접선을 가지는 점 c가 함수 내에 존재한다는 말이다.







  [참조]



posted by Brittle Diamond brittledia